Когда кривая состоит из отрезков, то все внутренние точки этих отрезков являются точками перегиба, что не интересно. Вместо этого кривая должна рассматриваться как аппроксимируемая вершинами этих отрезков. Разделив кусочно-дважды дифференцируемую кривую на эти сегменты, мы можем затем вычислить кривизну. Строго говоря, точка перегиба - это место, где кривизна равна нулю.
В примере имеются удлиненные участки, где кривизна почти равна нулю. Это говорит о том, что указанные точки должны аппроксимировать концы таких отрезков областей низкой кривизны.
Таким образом, эффективный алгоритм объединит вершины, вычислит кривизну вдоль плотного набора промежуточных точек, определит диапазоны почти нулевой кривизны (используя некоторую разумную оценку того, что значит быть «рядом») и отметит конечные точки этих диапазонов. ,
Вот рабочий Rкод, чтобы проиллюстрировать эти идеи. Давайте начнем со строки строки, выраженной в виде последовательности координат:
xy <- matrix(c(5,20, 3,18, 2,19, 1.5,16, 5.5,9, 4.5,8, 3.5,12, 2.5,11, 3.5,3,
2,3, 2,6, 0,6, 2.5,-4, 4,-5, 6.5,-2, 7.5,-2.5, 7.7,-3.5, 6.5,-8), ncol=2, byrow=TRUE)
Сплайн координаты х и у отдельно для достижения параметризации кривой. (Параметр будет вызван time.)
n <- dim(xy)[1]
fx <- splinefun(1:n, xy[,1], method="natural")
fy <- splinefun(1:n, xy[,2], method="natural")
Интерполируйте сплайны для построения и вычисления:
time <- seq(1,n,length.out=511)
uv <- sapply(time, function(t) c(fx(t), fy(t)))
Нам нужна функция для вычисления кривизны параметризованной кривой. Необходимо оценить первую и вторую производные сплайна. Для многих сплайнов (таких как кубические сплайны) это простой алгебраический расчет. Rпредоставляет первые три производные автоматически. (В других средах можно вычислить производные численно.)
curvature <- function(t, fx, fy) {
# t is an argument to spline functions fx and fy.
xp <- fx(t,1); yp <- fy(t,1) # First derivatives
xpp <- fx(t,2); ypp <- fy(t,2) # Second derivatives
v <- sqrt(xp^2 + yp^2) # Speed
(xp*ypp - yp*xpp) / v^3 # (Signed) curvature
# (Left turns have positive curvature; right turns, negative.)
}
kappa <- abs(curvature(time, fx, fy)) # Absolute curvature of the data
Я предлагаю оценить порог для нулевой кривизны с точки зрения степени кривой. По крайней мере, это хорошая отправная точка; это должно быть отрегулировано согласно извилистости кривой (то есть увеличено для более длинных кривых). Позже это будет использовано для окрашивания участков в соответствии с кривизной.
curvature.zero <- 2*pi / max(range(xy[,1]), range(xy[,2])) # A small threshold
i.col <- 1 + floor(127 * curvature.zero/(curvature.zero + kappa))
palette(terrain.colors(max(i.col))) # Colors
Теперь, когда вершины были разделены и вычислена кривизна, осталось только найти точки перегиба . Чтобы показать их, мы можем построить вершины, построить сплайн и отметить точки перегиба на нем.
plot(xy, asp=1, xlab="x",ylab="y", type="n")
tmp <- sapply(2:length(kappa), function(i) lines(rbind(uv[,i-1],uv[,i]), lwd=2, col=i.col[i]))
points(t(sapply(time[diff(kappa < curvature.zero/2) != 0],
function(t) c(fx(t), fy(t)))), pch=19, col="Black")
points(xy)
Открытые точки - это исходные вершины, xyа черные точки - это точки перегиба, автоматически идентифицируемые этим алгоритмом. Поскольку кривизна не может быть надежно рассчитана в конечных точках кривой, эти точки специально не отмечены.
