Насколько точна аппроксимация Земли как сферы?

С каким уровнем ошибки я сталкиваюсь при приближении Земли к сфере? В частности, когда речь идет о расположении точек и, например, большом круге расстояний между ними.

Есть ли исследования средней и худшей ошибки по сравнению с эллипсоидом? Мне интересно, какой точностью я бы пожертвовал, если бы пошел со сферой ради более простых вычислений.

Мой конкретный сценарий включает непосредственное отображение координат WGS84, как если бы они были координатами на идеальной сфере (со средним радиусом, определенным IUGG) без какого-либо преобразования.

Короче говоря, расстояние может быть ошибочным примерно до 22 км или 0,3%, в зависимости от рассматриваемых точек. Это:

• Ошибка может быть выражена несколькими естественными, полезными способами , такими как (i) (остаточная) ошибка, равная разности между двумя вычисленными расстояниями (в километрах), и (ii) относительная ошибка, равная разности, деленной на «правильное» (эллипсоидальное) значение. Чтобы получить числа, с которыми удобно работать, я умножаю эти отношения на 1000, чтобы выразить относительную ошибку в частях на тысячу .

• Ошибки зависят от конечных точек. Из-за вращательной симметрии эллипсоида и сферы и их двусторонних (север-юг и восток-запад) симметрий мы можем разместить одну из конечных точек где-нибудь вдоль основного меридиана (долгота 0) в северном полушарии (широта между 0 и 90). ) и другая конечная точка в восточном полушарии (долгота между 0 и 180).

Чтобы исследовать эти зависимости, я нанес на график ошибки между конечными точками в точках (lat, lon) = (mu, 0) и (x, lambda) как функцию широты x между -90 и 90 градусами. (Все точки номинально имеют высоту эллипсоида, равную нулю.) На рисунках строки соответствуют значениям mu в {0, 22,5, 45, 67,5} градусах, а столбцы - значениям лямбды в {0, 45, 90, 180} градусов. Это дает нам хорошее представление о спектре возможностей. Как и ожидалось, их максимальные размеры приблизительно равны величине сплющивания (около 1/300) главной оси (около 6700 км) или около 22 км.

ошибки

Относительные ошибки

Контурный сюжет

Другой способ визуализировать ошибки - это исправить одну конечную точку и позволить другой изменяться, очерчивая возникающие ошибки. Вот, например, контурная диаграмма, где первая конечная точка находится на 45 градусах северной широты, 0 градусов долготы. Как и раньше, значения ошибок приведены в километрах, а положительные ошибки означают, что сферический расчет слишком велик:

Это может быть легче читать, когда обернуто вокруг земного шара:

Красная точка на юге Франции показывает местоположение первой конечной точки.

Для справки, вот код Mathematica 8, используемый для расчетов:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

И одна из команд построения:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Я недавно исследовал этот вопрос. Я думаю, что люди хотят знать

1. какой сферический радиус я должен использовать?
2. что является результатом ошибки?

Разумным показателем качества аппроксимации является максимальная абсолютная относительная погрешность на расстоянии большого круга

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

с максимальной оценкой по всем возможным парам точек.

Если уплощение f мало, сферический радиус, который минимизирует ошибку, очень близок к (a + b) / 2, и полученная ошибка составляет около

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(оценивается с 10 ^ 6 случайно выбранных пар точек). Иногда предлагается использовать (2 * a + b) / 3 в качестве сферического радиуса. Это приводит к немного большей ошибке, err = 5 * f / 3 = 0,56% (для WGS84).

Геодезические, длина которых наиболее недооценена сферическим приближением, лежат вблизи полюса, например, (89,1,0) - (89,1,180). Геодезические, длина которых наиболее переоценена сферическим приближением, являются меридиональными вблизи экватора, например, от (-0,1,0) до (0,1,0).

ДОБАВЛЕНИЕ : Вот еще один способ решения этой проблемы.

Выберите пары равномерно распределенных точек на эллипсоиде. Измерьте эллипсоидальное расстояние s и расстояние на единичной сфере t . Для любой пары точек s / t дает эквивалентный сферический радиус. Усредните эту величину по всем парам точек, и это даст средний эквивалентный сферический радиус. Есть вопрос о том, как именно должно быть сделано среднее значение. Однако все варианты, которые я попробовал

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

все вышли в пределах нескольких метров от рекомендованного IUGG среднего радиуса, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Таким образом, это значение сводит к минимуму среднеквадратическую ошибку в вычислениях сферического расстояния. (Однако это приводит к немного большей максимальной относительной ошибке по сравнению с ( a + b ) / 2; см. Выше.) Учитывая, что R ₁ , вероятно, будет использоваться для других целей (вычисления площади и т. П.), Есть веская причина для придерживайтесь этого выбора для расчета расстояния.

Суть :

• Для любой систематической работы, где вы можете допустить ошибку в расчете расстояния 1%, используйте сферу радиуса R ₁ . Максимальная относительная погрешность составляет 0,56%. Используйте это значение последовательно, когда вы приближаете Землю сферой.
• Если вам нужна дополнительная точность, решите эллипсоидальную геодезическую задачу.
• Для расчета обратной границы используйте R ₁ или 6400 км или 20000 / пи км или a . Это приводит к максимальной относительной погрешности около 1%.

ДРУГОЕ ДОБАВЛЕНИЕ : Вы можете выжать немного большую точность из расстояния большого круга, используя μ = tan − ¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (выпрямляющая широта бедного человека) в качестве широты в расчете большого круга. Это уменьшает максимальную относительную ошибку с 0,56% до 0,11% (используя R ₁ в качестве радиуса сферы). (Неясно, действительно ли стоит использовать этот подход, в отличие от прямого вычисления эллипсоидального геодезического расстояния.)