Почему ГАМИЛЬТОНСКИЙ ЦИКЛ так отличается от ПОСТОЯННОГО?


23

Многочлен является монотонной проекцией многочлена если = poly , и существует присваивание , что . Таким образом, можно заменить каждую переменную из на переменную или константу или так, чтобы полученный многочлен совпадал с . f(x1,,xn)m ( n ) π : { y 1 , , y m } { x 1 , , x n , 0 , 1 } f ( x 1 , , x n ) = g ( π ( y 1 ) , , πg(y1,,ym)m(n)π:{y1,,ym}{x1,,xn,0,1}y j g x i 0 1 ff(x1,,xn)=g(π(y1),,π(ym))yjgxi01f

Меня интересует (причины) различия между постоянным полиномом PER и полиномом гамильтонова цикла HAM: где первое суммирование по всем перестановкам , а второе только по всем циклическим перестановкам .

PERn(x)=hi=1nxi,h(i)    and    HAMn(x)=hi=1nxi,h(i)
h:[n][n]h:[n][n]
Вопрос: почему HAM не является монотонной проекцией PER? Или это все еще есть?
Я не прошу доказательств , просто по интуитивным причинам.

Мотивация: самая большая известная нижняя граница монотонной цепи для PER (доказанная Разборовым) остается "только" . С другой стороны, результаты Valiant что где с суммированием по всем подмножествам размера . Я сам не мог получить «простое, прямое» сокращение от этих общих результатов, но Алон и Боппана утверждают (в разделе 5), что уже достаточно для этого сокращения. nΩ(logn) CLIQUE

CLIQUEn is a monotone projection of HAMm
S [ n ] | S | =
CLIQUEn(x)=Si<jSxi,j
S[n]|S|=nm=25n2

Но подождите: хорошо известно, что для CLIQUE требуются монотонные схемы размером (впервые доказано Алоном и Боппаной с использованием метода Разборова). 2nΩ(1)

Итак, если бы HAM была монотонной проекцией PER, мы бы имели нижнюю границу также для PER. 2nΩ(1)

На самом деле, почему HAM не является даже немонотонной проекцией PER? Над булева полукольца, бывший NP -полный, в то время как последнее находится в P . Но почему? Где место, где циклическая перестановка делает его таким особенным?

PS Одно очевидное отличие может быть следующим: HAM покрывает [n] только одним (длинным) циклом, тогда как PER может использовать для этого непересекающиеся циклы. Таким образом, для проецирования PER в HAM жесткое направление выглядит следующим образом: убедитесь, что отсутствие гамильтонова цикла подразумевает отсутствие любого покрытия с непересекающимися циклами в новом графе. Это причина того, что HAM не является прогнозом PER?

PPS На самом деле Valiant показал более впечатляющий результат: каждый многочлен с , чей коэффициенты вычислимы по времени p, это проекция (не обязательно монотонная, если ) HAM для = poly . PER также имеет это свойство, но только над полями характеристики . Таким образом, в этом смысле, HAM и PER является действительно «похожи», если мы не будем не в GF (2) где, как помнил Бруно, PER поворачивается к определителю и легко.c u{ 0 , 1 } c u m m ( n ) 2f(x)=u[n]cuiuxicu{0,1}cumm(n)2


1
У меня вопрос немного не по теме. Могу ли я спросить, почему PERMANENT находится в P над логическим полукольцом? Я не знаю такого алгоритма.
caozhu

@caozhu: Это просто потому, что PERMANENT - это то же самое, что и DETERMINANT для логического полукольца. Алгоритм - это любой детерминантный алгоритм.
Бруно

3
@ Бруно: не совсем. Вы правы, если мы в поле GF (2); тогда мы можем использовать, скажем, Гаусса. Тем не менее, логическая схема для PER размером около может быть построена с использованием алгоритма Хопкрофта-Карпа для максимального соответствия или только алгоритма максимального дефекта Флойда-Фулкерсона. п 5 / 2{,,¬}n5/2
Стасис

Ответы:


9

Следующее является доказательством над любым кольцом характеристики нуль, что многочлен гамильтонова цикла не является монотонной проекцией полиномиального размера перманента. Основная идея состоит в том, что монотонные проекции многочленов с неотрицательными коэффициентами приводят к тому, что многогранник Ньютона одного является расширенной формулировкой многогранника Ньютона другого, а затем применяется недавние нижние оценки для расширенных формулировок.

Пусть и - многочлены с неотрицательными коэффициентами (как в данном случае). Предположим, что является монотонной проекцией под присваиванием (после обозначения вопроса). В каждый моном сопоставляется либо с 0 (если только одна из его переменных сопоставлена ​​с 0), либо с мономом : отмены не может быть из-за неотрицательности.g ( y 1 , , y m ) f g π π g ff(x1,,xn)g(y1,,ym)fgππgf

Пусть обозначает многогранник Ньютона функции , и аналогично для .f N e w ( g )New(f)fNew(g)

Утверждение : существует расширенная формулировка для в , использующая переменные , и число ограничений, не превышающее плюс число ограничений, определяющих .R mn + m n + m N e w ( g )New(f)Rmn+mn+mNew(g)

Вот как: пусть - координаты (в котором живет ; то есть целая точка в с координатами соответствует ). Для тех , для которых , пересекают с (поскольку в проекцию могут вносить вклад только мономы, не ); это добавляет не более дополнительных ограничений. Пусть обозначает полученный многогранник. Тогда индуцирует линейное отображениер мe1,,emRmR м ( е 1 , ... , е м ) у й 1 -у й м м я π ( у я ) = 0 Н х ш ( г ) { е я = 0 } у я м Р π L π : R mR n L πNew(g)Rm(e1,,em)y1e1ymemiπ(yi)=0New(g){ei=0}yimPπLπ:RmRn , так что . Эта последняя часть следует из отсутствия отмен. Таким образом, мы получаем расширенную формулировку для , взяв переменных, ограничения для на переменных и ограничения, определяющие (из которых не более , по одному для каждого ) , Заявка QEDN e w ( f ) n + m P m L π n x iLπ(P)=New(f)New(f)n+mPmLπnxi

Теперь возьмем в качестве полинома цикла Гамильтона и в качестве перманента и предположим, что является монотонной проекцией . Многогранник Ньютона перманента (и определителя, между прочим), является многогранником покрытия цикла. Этот многогранник легко описывается «реберными» переменными и уравнениями, утверждающими, что каждая вершина имеет степень ровно 2.н г м ф г е и ж мfngmfgeijm

Многогранник Ньютона Ветчины. Полином циклов - это многогранник гамильтоновых циклов (удивление, удивление). Но этот многогранник является многогранником TSP, который требует уравнений для описания любой расширенной формулировки2nΩ(1) , которая, когда субэкспоненциальна, противоречит небольшой расширенной формулировке, данной многогранником покрытия цикла и как указано выше. L πmLπ

(Обратите внимание, что этот аргумент не выполняется, если , или могут иметь отрицательные коэффициенты, так как тогда могут быть отмены, поэтому не нужно отображать на .)g π L π N e w ( f )fgπLπNew(f)

Интересно отметить, что геометрия этих многогранников тесно связана с тем фактом, что сопоставление находится в то время как цикл Гамильтона является -полным, но я думаю, что приведенные выше рассуждения показывают, как геометрическая структура здесь действительно может добавить что-то за эту классификацию сложности.Н ПPNP


1
очень хороший аргумент. Это именно то, что я искал! Действительно, расширенные составы ЛП имитируют проекции Валианта (по крайней мере, монотонные).
Стасис
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.